美高梅注册网址 史料研究 第三次数学危机发生于哪一年?第三次数学危机是怎样解决的

第三次数学危机发生于哪一年?第三次数学危机是怎样解决的



数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现今,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这壹次危机是由于在康托尔的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

这一节课,小编要讲讲数学,大家认真读。

背景

 

第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初,当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化,促使了数理逻辑这门学科诞生。

数学,算是所有科目中比较难学的一个科目,估计很多同学对数学是深恶痛绝!

十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础,也是产生危机的直接来源。十九世纪末,戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化,推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。

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为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉,我们首先要说明什么是数学危机。一般来说,危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看,矛盾是无处不在的、不可避免的,即便以确定无疑著称的数学也不例外。

你发现没有,对有些人却不一样(我们不一样,不一样!),他们一点都不觉得数学难学,反而觉得它很有趣。为了证明数学的有趣,小编给大家举个例子:

数学中有大大小小的非常多矛盾,比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有非常多深刻的矛盾,例如有穷与无穷,连续与离散,乃至存在与构造,逻辑与直观,具体物件与抽象物件,概念与计算等等。在整个数学发展的历史上,贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时,就产生数学危机。

1/3=0.333333……(无限循环)

矛盾的消除,危机的解决,通常给数学带来新的内容,新的进展,甚至引起革命性的变革,这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史,斗争的结果就是数学领域的发展。

对于这个等式,大家都觉得没问题吧?小编知道你在想:

人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争:要么引进这些数,要么大量的数的减法就行不通;同样,引进分数使乘法有了逆运算–除法,否则非常多实际问题也不可以解决。但是接着又出现了这样的问题,是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机,而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

“这简直就是小学的知识,太简单了。”
“这等式,闭着眼睛都知道它是正确的。”
“这么简单的题,就不要侮辱我们的智商了,来,拿出点高难度的来!”

方程的解导致了虚数的出现,虚数从一开始就被以为是”不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不可以解决的问题,从而为自个争得存在的权利。

那么继续:

几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了非常多用传统方法不可以解决的问题,如五次及五次以上代数方程不可以通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来;古希腊几何三大问题,即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不可以通过圆规、直尺作图来解决等等。

(1/3)*2=0.6666666……(这题,没问题吧?)

这些否定的结果表明了传统方法的侷限性,也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击,几乎完全改变了它们的方向。比如说,代数学从此以后向抽象代数学方面发展,而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中,这种情况也多次出现,尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、非常多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识,也促进了数理逻辑的大发展。

那接下来,有趣的事情发生了:

这种矛盾、危机引起的发展,改变面貌,甚至引起革命,在数学发展历史上是屡见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的,它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面,比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后,矛盾才能解决。后来算符演算及δ函式也重复了这个过程,开始是形式演算、任意应用,直到施瓦尔兹才奠定广义函式论的严整系统。

(1/3)*3=0.9999999……(无限循环)

对于第三次数学危机,有人以为只是数学基础的危机,与数学无关。这种看法是片面的。诚然,问题涉及数理逻辑和集合论,但它一开始就牵涉到无穷集合,而现代数学假如脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为假如只考虑有限集合或至多是可数的集合,那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容,也有非常多问题要涉及无穷的方法,比如解决数论中的非常多问题都要用解析方法。由此看来,第三次数学危机是一次深刻的数学危机。

(1/3)*3=1

1=0.999999……(无限循环)

大家看到没?相等了。不是1≈0.999999…吗?怎么变成了相等?

关于1=0.999999……还是1≈0.999999……,这两个之间,到底是怎么回事?……好吧,小编也不能给出解释。

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目前,对于这个问题,自然界有两个相反的说法,一个是0.999999循环,在自然界中,是根本不存在的,宇宙中没有任何一个实际物体,具有0.99…99这个数值……

美高梅注册网址,另外一个猜测是:1的无穷次方等于1;而0.9999…..的无穷次方等于0,所以两者不相等……

很显然,这两个都是符合我们如今的数学认知,而且还相互矛盾的!这就更加让人难以明白,到底是等于,还是约等于,还是差距非常大!

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这算是数学的一个悖论!但是!现在不明白,不等于以后不明白!数学,是一个发展的学科!

小编在这里,跟大家分享一下,数学的三次危机,都是因为数学发展过程中不够完善,差点断送了数学这个学科。

 

无理数的发现

在公元前五世纪以前,数学学科毕达哥拉斯学派主张【“数”是万物的本原、始基】,而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比,有理数理论成为占统治地位的数学规范……

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毕达哥拉斯

小编这里先复习一下【有理数】的概念,它是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。这个有理数,是那个时候的数学的理论基石,不可动摇。

结果,在公元前580~568年间,一个毕达哥拉斯学派内部的一个成员希帕索斯,有一天突然发现:边长为1的正方形的对角线长度(根号2)既不是整数,也不能用整数之比来表示。

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这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条,同时也冲击了当时希腊人的普遍见解,因此它直接导致了数学认识上的“危机”,动摇到了数学的根基。

这一悖论导致了Hipasus被毕达哥拉斯学派追杀,最终葬身大海的悲剧。

 

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希帕索斯的这一发现,史称“希帕索斯悖论”,从而触发了第一次数学危机。

为什么说危机呢?

因为这个数学悖论的出现,导致了毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们对无理数的问题基本上采取了回避的态度,放弃对数的算术处理,代之以几何处理,从而开始了几何优先发展的时期。在此后两千年间,希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。

也正是因为这次数学悖论的出现,证明了人的直觉和经验不一定靠得住,而推理和证明才是可靠的,这就导致了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立……

 

过了两百年,希腊数学家欧多克斯和阿契塔斯两人给出了“两个数的比相等”的新定义,建立起一套完整的比例论,其中巧妙避开了无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保留住与之相关的一些结论,缓解了这次数学危机。

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然而,“世界万物皆为整数或整数比”的错误并没有解决,欧多克斯只是借助几何方法,直接避免无理数的出现。

 

直到1872年,德国数学家对无理数作出了严格的定义,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学中合法地位的确立,才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

好了,这个第一次数学危机就讲到这里,回到1=0.999999……还是1≈0.999999……这个问题上来,就像这个根号2的出现动摇了当时的数学体系的情况一样,不相信根号2的存在……

而现在,有人不相信0.9999……无限循环不存在,不用担心,当未来数学发展到一定的程度时,它就存在了,也许到时候,会出现一个新的数学概念,1=0.999999……还是1≈0.999999这个问题,就像是当初的【无理数】概念一样……

贝克莱悖论

17世纪末,牛顿和莱布尼茨分别独立地建立了微积分方法,成为解决众多问题的重要而有力的工具,并在实际应用中获得了巨大成功。

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微积分是初等和高等数学的分水岭。莱布尼茨说:从人类有数学开始到牛顿时代,牛顿的贡献至少一半以上!尽管如此,从本质上说,还是科学技术的发展催生了微积分

 

17世纪,科学技术发展迅猛,向数学提出四类问题:瞬时速度问题;曲线的切线问题;函数极值问题;曲线长度和图形面积问题。以上四类问题吸引了大批数学家,产生了新的数学工具:坐标解析几何。

微积分的建立标志着数学从常数数学时代进入变数数学时代,推动了整个科学技术的发展。

例子:牛顿-莱布尼茨求导数

y = x2

y + dy = (x+dx)2 = x2 + 2xdx + (dx)2

从而有dy = 2xdx + (dx)2

两边除以dx得:dy/dx = 2x + dx

因为dx是无穷小量,故yˊ= dy/dx = 2x .

然而,微积分学产生伊始,迎来的并非全是掌声,在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责,原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上,而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。

 

1734年爱尔兰主教贝克莱提出贝克莱悖论:无穷小量 dx 既是0又不是0!

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