美高梅注册网址 美高梅注册网址 历史上少见的通才——莱布尼茨,莱布尼茨有哪壹些辉煌成就

历史上少见的通才——莱布尼茨,莱布尼茨有哪壹些辉煌成就



1646年7月1日,戈特弗里德·威廉·莱布尼茨出生于神圣罗马帝国的莱比锡,祖父三代人均曾在萨克森政府供职,父亲是Friedrich
Leibnütz,妈妈是Catherina
Schmuck。长大后,莱布尼茨名字的拼法才改成”Leibniz”,但是一般人习惯写成”Leibnitz”。晚年时期,他的签名往往写成”von
Leibniz”,以示贵族身份。莱布尼茨死后,他的作品才公诸于世,作者名称往往是”Freiherr
[Baron] G. W. von Leibniz.”,但没有人确定他是否确实有男爵的贵族头衔。

原标题:成就牛顿的发明,为何成了追随他一生的幽灵?

莱布尼茨的父亲是莱比锡大学的伦理学教授,在莱布尼茨6岁时去世,留下了一个私人的图书馆。12岁时自学拉丁文,并着手学习希腊文。14岁时进入莱比锡大学唸书,20岁时完成学业,专攻法律和一般大学课程。1666年他出版第一部有关於哲学方面的书籍,书名为《论组合术》(de
arte binatoria)。

出品:科普中国

微积分

制作:中国科学院数学与系统科学研究院 黄逸文

现在在微积分领域使用的符号仍是莱布尼茨所提出的。在高等数学和数学分析领域,莱布尼茨判别法是用来判别交错级数的收敛性的。

监制:中国科学院计算机网络信息中心

莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界到今天最大的公案。莱布尼茨于1684年发表第一篇微分论文,定义了微分概念,采用了微分符号dx,dy。1686年他又发表了积分论文,讨论了微分与积分,使用了积分符号∫。依据莱布尼茨的笔记本,1675年11月11日他便已完成一套完整的微分学。

微积分,无疑是人类历史上最伟大的思维成果之一。

然而1695年英国学者宣称:微积分的发明权属于牛顿;1699年又说:牛顿是微积分的”第一发明人”。1712年英国皇家学会成立了一个委员会调查此案,1713年初发布公告:”确认牛顿是微积分的第一发明人。”莱布尼茨直至去世后的几年都受到了冷遇。由于对牛顿的盲目崇拜,英国学者长期固守于牛顿的流数术,只用牛顿的流数符号,不屑采用莱布尼茨更优越的符号,以致英国的数学脱离了数学发展的时代潮流。

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美高梅注册网址,不过莱布尼茨对牛顿的评价很的高,在1701年柏林宫廷的一次宴会上,普鲁士国王腓特烈询问莱布尼茨对牛顿的看法,莱布尼茨说道:”在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中,牛顿的工作超过了一半”

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牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道:”十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通讯中,我表明我已晓得确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法,但我在交换的信件中隐瞒了这方法,……这位最卓越的科学家在回信中写道,他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法,它与我的方法几乎没有什么不同,除了他的措词和符号而外”(但在第三版及以后再版时,这段话被删掉了)。因此,后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地建立微积分的。

牛顿与莱布尼茨

牛顿从物理学出发,运用集合方法研究微积分,其应用上更多地结合了运动学,造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发,运用分析学方法引进微积分概念、得出运演算法则,其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。

它由牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)于17世纪创立。然而,伴随着它的诞生,一个全新的概念——无穷小量即如影随形。它在微积分的规则里,时而显露参与运算,时而隐形全身而去。没有人知道它确切的行踪,但在一行行严密的数学证明中,它的身影却如幽灵般始终挥之不去。无穷小量,成了牛顿终身的梦魇,也成为后人诟病微积分最大的缺陷。直到19世纪,分析的严格化开始展露曙光,无穷小量的迷思终于在困扰世人一个半世纪之后得到澄清。

莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此,他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大影响。1714至1716年间,莱布尼茨在去世前,起草了《微积分的历史和起源》一文(本文直到1846年才被发表),总结了自个创立微积分学的思路,说明了自个成就的独立性。

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拓扑学

古希腊哲学家芝诺

拓扑学最早称之”位相分析学”(analysis
situs),是莱布尼茨1679年提出的,这是一门研究地形、地貌相类似的学科,当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。关于莱布尼茨对拓扑学的贡献,尚存争论。Mates引用Jacob
Freudenthal1954年一篇论文里的话说:

事实上,早在公元前500年,古希腊就已经萌发了微积分的核心思想——极限逼近。著名的哲学家芝诺(Zeno)曾经提出四个芝诺悖论,它们可以看做是极限思想最早的萌芽。在第一个悖论中,芝诺认为”运动不可能”。比如一个物体要从A点运动到B点,则首先需要运动到A和B的中间点C;而如果物体要运动到C点,则需要首先运动到A和C点之间的中点D。以此类推,这个二分法可以无限进行下去。这样的中点有无穷多个,所以物体永远也到达不了B点。因此,物体根本不可能运动,因为它被道路的无限细分所阻隔。

尽管莱布尼茨以为一列点在空间中的位置是由其间距离唯一决定的–当且仅当距离发生变化时点的位置发生相应的改变–他的仰慕者尤拉,在他著名的一篇论文(1736年发表,解决了柯尼斯堡七桥问题及其推广)中,却是在”拓扑变形时点的位置不发生变化”的意义下使用”几何位置”这个名词的。他误信了莱布尼茨是这个概念的创始者。……人们经常意识不到莱布尼茨是在完全不同的意义下使用这个名词的,因此被尊为数学的这个分支领域的奠基人并不恰当。

基于同样的道理,芝诺遂提出更多的悖论,诸如”落后的兔子永远追不上乌龟”、”飞矢不动悖论”、”运动场悖论”等等。现实生活中,人们显然可以把物体从A点移动到B点,落后的兔子也会很快追上乌龟。所有这些,都指向了芝诺悖论的谬误。然而,芝诺悖论里所体现出对空间、时间、无限、连续和运动的看法,给古希腊造成了深深的困惑。这样的困惑,一直延伸到了微积分的诞生。

但平野秀秋持有不同看法,他引用本华·曼德博的话说:

不仅如此,古希腊科学家阿基米德(Archimedes)使用”穷竭法”来计算圆的周长和面积,其核心方法已经非常接近17世纪微积分的思想。除了古希腊,古代中国的科学家也在探索微积分的道路上取得了惊人的进展。魏晋时期最伟大的数学家刘徽发明了割圆术来计算圆周的精确数值。随后,割圆术被南北朝时期的数学家祖冲之发挥到了极致。他计算出圆周率介于3.1415926至3.1415927之间这一惊人的成就。这一成果甚至领先外国1000多年。


莱布尼茨海量的科学成果中探索是发人深省的享受。除了微积分以及其他已完成的研究之外,大量涉及内容广泛且极富前瞻性的研究对科学发展的推动力势不可
挡。在’填充理论’上即有例子,……在发现莱布尼茨还过去关注过几何度量的重要性之后,我对他的狂热更甚了。在”欧几里德普罗塔”中……,其使得欧几里德
公理更加严格,他陈述道,……’对直线,我有数种不同的定义。直线是曲线的一种,而曲线的任何部分都是和整体相似的,因此直线也具有这种特性;这不仅适用
于曲线,而且适用于集合。’这个论断今天已可以被证明。

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因而分形几何(由本华·曼德博发扬光大)理论在莱布尼茨的自相似性思想和连续性原理中寻求支援:大自然没有跳跃(拉
丁语”natura non facit saltus”,英语”nature does not make
jumps”)。当莱布尼茨在他的形而上学著作中写道,”直线是曲线的一种,其任何部分都是和整体类似的”,他实际上提前两个世纪预言了拓扑学的诞生。至
于”填充理论”,莱布尼茨对他的朋友Des
Bosses说,”你想象一个圆,然后用三个全等的最大半径的圆填满它,后来的三个小圆又可以以同样的过程被更小的圆填充”。这个过程可以无限地继续下
去,并由此生发出了自相似性的思想。莱布尼茨对于欧氏公理的改进亦包含同样的概念。

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符号思维

阿基米德与欧几里得

莱布尼茨有个明显的信仰,大量的人类推理可以被归约为某类运算,而这种运算可以解决看法上的差异:

古希腊的数学在历史上留下了无数绚丽的瑰宝,但随着希腊文明的衰落,也一起进入了长达千年的沉寂期。欧洲数学从此停滞不前,只有欧几里得(Elucid)的《几何原本》和阿基米德(Archimedes)的思想随着数学中心的转移来到了阿拉伯世界。从公元9世纪到16世纪,阿拉伯的数学进入了鼎盛时期。阿拉伯的数学家不仅继承了源自希腊的几何思想,还独自创立了代数学科。直到欧洲文艺复兴过后,东西方的交流通道再度打开。曾经失传的古希腊先贤们的思想结合阿拉伯数学家600多年的数学结晶再次回到了它的故乡-欧洲。

“精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实,这样我们能一眼就找出我们的错误,并且在人们有争议的时候,我们可以简单的说:
让我们计算[calculemus],而无须进一步的忙乱,就能看出谁是正确的。”
(发现的艺术 1685,W 51)

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莱布尼茨的演算推论器,非常能让人想起符号逻辑,可以被看作使这种计算成为可行的一种方式。莱布尼茨写的备忘录(帕金森1966年翻译了它们)可以被看作是对符号逻辑的探索–所以他的演算–上路了。但是
Gerhard 和 Couturat 没有出版这些著作,直到现代形式逻辑在 1880 年代于
Frege 的概念文字 和 Charles Peirce
及他的学生的著作中形成,所以就更在乔治·布林和德·摩根在 1847
开创这种逻辑之后了。

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开普勒与伽利略

14世纪后,欧洲各国皇室出于航海历的需要,开始出钱资助科学家研究天地星辰的规律。德国天文学家开普勒(Kepler)通过几十年的观星数据,最终发现太阳系的行星沿椭圆轨道运行;意大利科学家伽利略(Galileo)也发现投掷物体会沿着抛物线运动。对天文和力学的研究成果,进一步激发了人们对曲线研究的热情,代数学在这一阶段得到了极大发展。通过代数方法寻求几何问题的解决方案,成为研究曲线运动新的途径。这一切,都为解析几何的发现奠定了基础。

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